第49章 六分钟搞定两道解答题，监考老师感觉
重生死胖子？一周逆袭成完美男神 作者:佚名
第49章 六分钟搞定两道解答题，监考老师感觉几十年数学白学了！
……
【第一题（45分）】
【设n为正整数，a?,a?,…,a_n为实数，满足∑_{i=1}^n a_i = 0且∑_{i=1}^n a_i2 = 1。证明：对任意实数x，有∑_{i=1}^n (a_i - x)2 ≥ n/(n-1)。】
江辰看完题干，脑子里瞬间跳出三种解法。
解法一：直接用柯西不等式+均值不等式，三步搞定。
解法二：转化成二次函数最值问题，用判別式。
解法三：用拉格朗日乘数法（虽然超纲，但简洁）。
他选了第一种，提笔就写。
“由条件∑a_i=0，∑a_i2=1，则∑(a_i-x)2=∑a_i2 - 2x∑a_i + nx2 = 1 + nx2。”
“需证1+nx2 ≥ n/(n-1)，即nx2 ≥ 1/(n-1)。”
“由柯西不等式：(∑a_i2)(∑12) ≥ (∑a_i)2，即n≥0，恆成立。但需另寻不等式……”
“考虑∑(a_i - ā)2 = ∑a_i2 - nā2 = 1，其中ā=0，故∑a_i2=1已给出。”
“实际上，直接由∑(a_i-x)2 = ∑a_i2 - 2x∑a_i + nx2 = 1 + nx2，当x=0时取最小值1，而需证1 ≥ n/(n-1)？不对，当n＞1时1 ＜ n/(n-1)，故需调整思路……”
江辰停笔，重新看题。
哦，看错了。
不是证∑(a_i-x)2 ≥ n/(n-1)，而是要证∑(a_i-x)2 ≥ n/(n-1)对任意x成立。
那更简单了。
“设f(x)=∑(a_i-x)2 = nx2 - 2(∑a_i)x + ∑a_i2 = nx2 + 1（因为∑a_i=0）。”
“这是关於x的二次函数，开口向上，最小值为1（当x=0时）。”
“需证f(x) ≥ n/(n-1)对任意x成立，即证最小值1 ≥ n/(n-1)？等等，1 ≥ n/(n-1)若且唯若n≤2……”
江辰皱了皱眉。
这题……有问题？
他仔细再读一遍题干。
然后他明白了。
“原来如此，是我理解错了。条件∑a_i=0，∑a_i2=1，但a_i是实数，可正可负。”
“要证的是∑(a_i-x)2 ≥ n/(n-1)，即nx2 + 1 ≥ n/(n-1)，也就是nx2 ≥ 1/(n-1)。”
“这不是恆成立的，因为x可以取0。所以……题目隱含了x的取值范围？不对，题目说『对任意实数x』，那这不等式就不成立。”
江辰陷入沉思。
三秒后，他反应过来。
“操，被出题人套路了。”
“这题的正確理解是：要证的是存在某个与{a_i}无关的常数c，使得∑(a_i-x)2 ≥ c对任意x和任意满足条件的{a_i}成立，然后求c的最大值。”
“而c的最大值就是n/(n-1)。”
“所以证明分两步：一是证∑(a_i-x)2 ≥ n/(n-1)对所有满足条件的{a_i}和某个特定的x成立；二是证这个下界是紧的，即存在一组{a_i}和x使等號成立。”
想通了这一点，江辰笑了。
“出题人有点东西啊，还玩文字游戏。”
他提笔，重新写：
“证：由柯西不等式，(∑_{i=1}^n a_i)2 ≤ n∑_{i=1}^n a_i2，即0 ≤ n·1，恆成立，但此不等式无法直接得到所需结论。”
“考虑固定{a_i}，令f(x)=∑(a_i-x)2=nx2+1，最小值为1（当x=0时）。但1可能小於n/(n-1)（当n＞2时），故需考虑调整{a_i}使下界最大化。”
“实际上，由条件∑a_i=0，∑a_i2=1，可得∑_{i≠j} a_i a_j = -1/2（展开(∑a_i)2=0得）。”
“则∑(a_i-x)2 = 1 + nx2，要使其下界最大，等价於求1 + nx2的最小值？不对，应该是在所有满足条件的{a_i}中，求min_x max_{a_i} ∑(a_i-x)2？也不是……”
江辰摇了摇头。
“妈的，这题比我想像的麻烦。”
不过也只是“麻烦”，不是“难”。
他换了个思路。
“直接用拉格朗日乘数法吧，虽然超纲，但管他呢。”
“考虑优化问题：给定∑a_i=0，∑a_i2=1，求min_x max_{a_i} ∑(a_i-x)2的下界。”
“固定x，求max_{a_i} ∑(a_i-x)2在约束下的最大值……”
“由拉格朗日函数l=∑(a_i-x)2 + λ∑a_i + μ(∑a_i2-1)，求偏导得2(a_i-x)+λ+2μa_i=0，解得a_i=(2x-λ)/(2+2μ)……”
“代入约束解λ,μ，最后得最坏情况下∑(a_i-x)2 = n/(n-1)……”
三分钟，密密麻麻写了一整页。
写完，江辰鬆了口气。
“搞定。”
他看了眼时间：9:43。
……
讲台上，监考老师刘月一直在盯著江辰。
看到江辰三分钟就写完第一题，她眼珠子都快瞪出来了。
“这……这怎么可能？”
她忍不住走下讲台，假装巡视，走到江辰身后。
然后她看到了江辰的答案。
从最初的错误理解，到重新分析，再到用拉格朗日乘数法完整求解……
步骤严谨，逻辑清晰。
而且……全对。
刘月感觉自己的世界观受到了衝击。
这可是二试第一题啊！
45分的大题！
往年这种题，顶尖学神也要花二三十分钟才能做完。
这个江辰……三分钟？
还用了大学数学的方法？
她深吸一口气，强迫自己冷静，继续看江辰做第二题。
……
【第二题（45分）】
【设s是平面上有限个点的集合，其中任意三点不共线。称一个“风箏”是由四个点a,b,c,d∈s组成的四边形，满足ab=ad且cb=cd（即两组邻边分別相等）。证明：如果s中任意四个点都能构成一个风箏，则s的所有点共圆。】
江辰看完题，愣了一下。
“风箏四边形……共圆……”
他脑子里瞬间闪过好几个几何定理。
“这不是显然的吗？”
他提笔就写：
“证：取s中任意两点a,b，由条件，对任意另外两点c,d∈s{a,b}，四边形abcd是风箏。”
“特別地，取c为s中异於a,b的任意一点，则存在d（可能与c重合？不，d需异於a,b,c）使ab=ad且cb=cd。”
“但条件说『任意四个点都能构成一个风箏』，这意味著对任意四点，其中某两个作为『肩点』（等邻边的公共端点），另外两个作为『翼点』。”
“考虑任意三点a,b,c，由条件存在d使ab=ad且cb=cd，即d在ab的中垂线和bc的中垂线交点上，故d是△abc外心？不对，外心是三条中垂线交点，这里只用到两条……”
“等等，这题需要仔细分析结构。”
江辰停笔，思考了几秒。
“任意四点都能构成风箏，意味著对任意四点，其中两点是某等腰三角形的顶点，另外两点是另一个等腰三角形的顶点，且这两个等腰三角形共用底边？不对，风箏是四边形，两组等邻边。”
“设四点a,b,c,d，风箏结构有两种可能：要么a、c是『肩点』（ab=ad, cb=cd），要么b、d是『肩点』（ba=bc, da=dc）。”
“由任意性，对任意三点a,b,c，考虑第四点d（取s中另一点），则四点a,b,c,d构成风箏。若a是肩点，则ab=ad且cb=cd；若c是肩点，则ba=bc且da=dc；若b或d是肩点同理。”
“这会导致一系列等量关係……”
江辰在草稿纸上画了几个图。
十秒后，他眼睛一亮。
“有了！”
“引理：若任意四点构成风箏，则对任意三点a,b,c，有ab=ac或ba=bc或ca=cb至少一组成立。”
“证明：取第四点d，若a是肩点，则ab=ad且cb=cd，但这对b,c的关係无直接约束。需另寻思路……”
“更直接的方法：考虑任意三点a,b,c，取s中另一点d，由条件四点构成风箏。若a、c是肩点，则ab=ad且cb=cd，这推出ab=ad，cb=cd，但b、d关係未知。”
“实际上，由风箏定义，四边形abcd中，要么a、c是对角线交点？不，风箏通常指有一组对角相等且邻边相等的四边形……”
江辰皱了皱眉。
这题……有点绕。
但他很快找到了突破口。
“换个角度：风箏四边形本质上是两个等腰三角形共用底边。”
“设四点a,b,c,d，若a、c是肩点，则△abd和△cbd都是等腰三角形（ab=ad, cb=cd），且共用底边bd。”
“所以bd是ab和ad的中垂线，也是cb和cd的中垂线？不对，中垂线是直线……”
“实际上，由ab=ad，点a在bd的中垂线上；由cb=cd，点c在bd的中垂线上。所以a、c都在bd的中垂线上，即ac⊥bd且bd中点在ac上？不，中垂线是垂直平分线……”
江辰感觉自己被绕进去了。
“妈的，几何题就是麻烦。”
他决定用解析几何暴力破解。
“建立坐標系，设点坐標，用距离公式表达条件，然后证明这些点共圆……”
“但这样计算量太大，而且『任意四点』条件很难用解析式表达。”
江辰想了想，又换了个思路。
“用反证法：假设s不共圆，则存在四点不共圆，推出矛盾。”
“取不共圆的四点a,b,c,d，由条件它们构成风箏。设a、c是肩点，则ab=ad且cb=cd，即a在bd的中垂线上，c也在bd的中垂线上，所以a、c关於bd中垂线对称？不对，只是都在同一条直线上……”
“等等，如果a、c都在bd的中垂线上，那么ac是bd的中垂线？那b、d关於ac对称，於是ab=ad, cb=cd自然成立……”
“所以只要a、c在bd的中垂线上，四边形abcd就是风箏。”
“那么问题转化为：如果任意四点都满足存在两点在另外两点连线的中垂线上，则所有点共圆。”
江辰眼睛越来越亮。
“这就是突破口！”
他提笔疾书：
“证明：假设s不共圆，则存在四点a,b,c,d不共圆。不妨设a、b、c不共圆（因为四点不共圆则必有三点不共圆，再加一点）。”
“取第四点d，由条件a,b,c,d构成风箏。分情况討论……”
三分钟，第二题搞定。
江辰看了眼时间：9:46。
两题，六分钟。
刘月站在江辰身后，已经麻了。
第二题，她作为出题组一员，知道这道题的难度……这是组合几何的经典难题，改编自一道imo预选题。
標准答案写了整整两页，用了复杂的分类討论和反证法。
而这个江辰……又三分钟搞定？
而且他的解法，比標准答案更简洁、更本质？
刘月感觉自己这几十年的数学白学了。
……
第49章 六分钟搞定两道解答题，监考老师感觉几十年数学白学了！
……
【第一题（45分）】
【设n为正整数，a?,a?,…,a_n为实数，满足∑_{i=1}^n a_i = 0且∑_{i=1}^n a_i2 = 1。证明：对任意实数x，有∑_{i=1}^n (a_i - x)2 ≥ n/(n-1)。】
江辰看完题干，脑子里瞬间跳出三种解法。
解法一：直接用柯西不等式+均值不等式，三步搞定。
解法二：转化成二次函数最值问题，用判別式。
解法三：用拉格朗日乘数法（虽然超纲，但简洁）。
他选了第一种，提笔就写。
“由条件∑a_i=0，∑a_i2=1，则∑(a_i-x)2=∑a_i2 - 2x∑a_i + nx2 = 1 + nx2。”
“需证1+nx2 ≥ n/(n-1)，即nx2 ≥ 1/(n-1)。”
“由柯西不等式：(∑a_i2)(∑12) ≥ (∑a_i)2，即n≥0，恆成立。但需另寻不等式……”
“考虑∑(a_i - ā)2 = ∑a_i2 - nā2 = 1，其中ā=0，故∑a_i2=1已给出。”
“实际上，直接由∑(a_i-x)2 = ∑a_i2 - 2x∑a_i + nx2 = 1 + nx2，当x=0时取最小值1，而需证1 ≥ n/(n-1)？不对，当n＞1时1 ＜ n/(n-1)，故需调整思路……”
江辰停笔，重新看题。
哦，看错了。
不是证∑(a_i-x)2 ≥ n/(n-1)，而是要证∑(a_i-x)2 ≥ n/(n-1)对任意x成立。
那更简单了。
“设f(x)=∑(a_i-x)2 = nx2 - 2(∑a_i)x + ∑a_i2 = nx2 + 1（因为∑a_i=0）。”
“这是关於x的二次函数，开口向上，最小值为1（当x=0时）。”
“需证f(x) ≥ n/(n-1)对任意x成立，即证最小值1 ≥ n/(n-1)？等等，1 ≥ n/(n-1)若且唯若n≤2……”
江辰皱了皱眉。
这题……有问题？
他仔细再读一遍题干。
然后他明白了。
“原来如此，是我理解错了。条件∑a_i=0，∑a_i2=1，但a_i是实数，可正可负。”
“要证的是∑(a_i-x)2 ≥ n/(n-1)，即nx2 + 1 ≥ n/(n-1)，也就是nx2 ≥ 1/(n-1)。”
“这不是恆成立的，因为x可以取0。所以……题目隱含了x的取值范围？不对，题目说『对任意实数x』，那这不等式就不成立。”
江辰陷入沉思。
三秒后，他反应过来。
“操，被出题人套路了。”
“这题的正確理解是：要证的是存在某个与{a_i}无关的常数c，使得∑(a_i-x)2 ≥ c对任意x和任意满足条件的{a_i}成立，然后求c的最大值。”
“而c的最大值就是n/(n-1)。”
“所以证明分两步：一是证∑(a_i-x)2 ≥ n/(n-1)对所有满足条件的{a_i}和某个特定的x成立；二是证这个下界是紧的，即存在一组{a_i}和x使等號成立。”
想通了这一点，江辰笑了。
“出题人有点东西啊，还玩文字游戏。”
他提笔，重新写：
“证：由柯西不等式，(∑_{i=1}^n a_i)2 ≤ n∑_{i=1}^n a_i2，即0 ≤ n·1，恆成立，但此不等式无法直接得到所需结论。”
“考虑固定{a_i}，令f(x)=∑(a_i-x)2=nx2+1，最小值为1（当x=0时）。但1可能小於n/(n-1)（当n＞2时），故需考虑调整{a_i}使下界最大化。”
“实际上，由条件∑a_i=0，∑a_i2=1，可得∑_{i≠j} a_i a_j = -1/2（展开(∑a_i)2=0得）。”
“则∑(a_i-x)2 = 1 + nx2，要使其下界最大，等价於求1 + nx2的最小值？不对，应该是在所有满足条件的{a_i}中，求min_x max_{a_i} ∑(a_i-x)2？也不是……”
江辰摇了摇头。
“妈的，这题比我想像的麻烦。”
不过也只是“麻烦”，不是“难”。
他换了个思路。
“直接用拉格朗日乘数法吧，虽然超纲，但管他呢。”
“考虑优化问题：给定∑a_i=0，∑a_i2=1，求min_x max_{a_i} ∑(a_i-x)2的下界。”
“固定x，求max_{a_i} ∑(a_i-x)2在约束下的最大值……”
“由拉格朗日函数l=∑(a_i-x)2 + λ∑a_i + μ(∑a_i2-1)，求偏导得2(a_i-x)+λ+2μa_i=0，解得a_i=(2x-λ)/(2+2μ)……”
“代入约束解λ,μ，最后得最坏情况下∑(a_i-x)2 = n/(n-1)……”
三分钟，密密麻麻写了一整页。
写完，江辰鬆了口气。
“搞定。”
他看了眼时间：9:43。
……
讲台上，监考老师刘月一直在盯著江辰。
看到江辰三分钟就写完第一题，她眼珠子都快瞪出来了。
“这……这怎么可能？”
她忍不住走下讲台，假装巡视，走到江辰身后。
然后她看到了江辰的答案。
从最初的错误理解，到重新分析，再到用拉格朗日乘数法完整求解……
步骤严谨，逻辑清晰。
而且……全对。
刘月感觉自己的世界观受到了衝击。
这可是二试第一题啊！
45分的大题！
往年这种题，顶尖学神也要花二三十分钟才能做完。
这个江辰……三分钟？
还用了大学数学的方法？
她深吸一口气，强迫自己冷静，继续看江辰做第二题。
……
【第二题（45分）】
【设s是平面上有限个点的集合，其中任意三点不共线。称一个“风箏”是由四个点a,b,c,d∈s组成的四边形，满足ab=ad且cb=cd（即两组邻边分別相等）。证明：如果s中任意四个点都能构成一个风箏，则s的所有点共圆。】
江辰看完题，愣了一下。
“风箏四边形……共圆……”
他脑子里瞬间闪过好几个几何定理。
“这不是显然的吗？”
他提笔就写：
“证：取s中任意两点a,b，由条件，对任意另外两点c,d∈s{a,b}，四边形abcd是风箏。”
“特別地，取c为s中异於a,b的任意一点，则存在d（可能与c重合？不，d需异於a,b,c）使ab=ad且cb=cd。”
“但条件说『任意四个点都能构成一个风箏』，这意味著对任意四点，其中某两个作为『肩点』（等邻边的公共端点），另外两个作为『翼点』。”
“考虑任意三点a,b,c，由条件存在d使ab=ad且cb=cd，即d在ab的中垂线和bc的中垂线交点上，故d是△abc外心？不对，外心是三条中垂线交点，这里只用到两条……”
“等等，这题需要仔细分析结构。”
江辰停笔，思考了几秒。
“任意四点都能构成风箏，意味著对任意四点，其中两点是某等腰三角形的顶点，另外两点是另一个等腰三角形的顶点，且这两个等腰三角形共用底边？不对，风箏是四边形，两组等邻边。”
“设四点a,b,c,d，风箏结构有两种可能：要么a、c是『肩点』（ab=ad, cb=cd），要么b、d是『肩点』（ba=bc, da=dc）。”
“由任意性，对任意三点a,b,c，考虑第四点d（取s中另一点），则四点a,b,c,d构成风箏。若a是肩点，则ab=ad且cb=cd；若c是肩点，则ba=bc且da=dc；若b或d是肩点同理。”
“这会导致一系列等量关係……”
江辰在草稿纸上画了几个图。
十秒后，他眼睛一亮。
“有了！”
“引理：若任意四点构成风箏，则对任意三点a,b,c，有ab=ac或ba=bc或ca=cb至少一组成立。”
“证明：取第四点d，若a是肩点，则ab=ad且cb=cd，但这对b,c的关係无直接约束。需另寻思路……”
“更直接的方法：考虑任意三点a,b,c，取s中另一点d，由条件四点构成风箏。若a、c是肩点，则ab=ad且cb=cd，这推出ab=ad，cb=cd，但b、d关係未知。”
“实际上，由风箏定义，四边形abcd中，要么a、c是对角线交点？不，风箏通常指有一组对角相等且邻边相等的四边形……”
江辰皱了皱眉。
这题……有点绕。
但他很快找到了突破口。
“换个角度：风箏四边形本质上是两个等腰三角形共用底边。”
“设四点a,b,c,d，若a、c是肩点，则△abd和△cbd都是等腰三角形（ab=ad, cb=cd），且共用底边bd。”
“所以bd是ab和ad的中垂线，也是cb和cd的中垂线？不对，中垂线是直线……”
“实际上，由ab=ad，点a在bd的中垂线上；由cb=cd，点c在bd的中垂线上。所以a、c都在bd的中垂线上，即ac⊥bd且bd中点在ac上？不，中垂线是垂直平分线……”
江辰感觉自己被绕进去了。
“妈的，几何题就是麻烦。”
他决定用解析几何暴力破解。
“建立坐標系，设点坐標，用距离公式表达条件，然后证明这些点共圆……”
“但这样计算量太大，而且『任意四点』条件很难用解析式表达。”
江辰想了想，又换了个思路。
“用反证法：假设s不共圆，则存在四点不共圆，推出矛盾。”
“取不共圆的四点a,b,c,d，由条件它们构成风箏。设a、c是肩点，则ab=ad且cb=cd，即a在bd的中垂线上，c也在bd的中垂线上，所以a、c关於bd中垂线对称？不对，只是都在同一条直线上……”
“等等，如果a、c都在bd的中垂线上，那么ac是bd的中垂线？那b、d关於ac对称，於是ab=ad, cb=cd自然成立……”
“所以只要a、c在bd的中垂线上，四边形abcd就是风箏。”
“那么问题转化为：如果任意四点都满足存在两点在另外两点连线的中垂线上，则所有点共圆。”
江辰眼睛越来越亮。
“这就是突破口！”
他提笔疾书：
“证明：假设s不共圆，则存在四点a,b,c,d不共圆。不妨设a、b、c不共圆（因为四点不共圆则必有三点不共圆，再加一点）。”
“取第四点d，由条件a,b,c,d构成风箏。分情况討论……”
三分钟，第二题搞定。
江辰看了眼时间：9:46。
两题，六分钟。
刘月站在江辰身后，已经麻了。
第二题，她作为出题组一员，知道这道题的难度……这是组合几何的经典难题，改编自一道imo预选题。
標准答案写了整整两页，用了复杂的分类討论和反证法。
而这个江辰……又三分钟搞定？
而且他的解法，比標准答案更简洁、更本质？
刘月感觉自己这几十年的数学白学了。
……