第50章 二十分钟搞定二试，这速度实在太不可
重生死胖子？一周逆袭成完美男神 作者:佚名
第50章 二十分钟搞定二试，这速度实在太不可思议了啊！
【第三题（45分）】
【设f:?→?是严格递增函数，满足f(1)=1且对任意正整数n，有f(f(n))=f(n)+n。求f(n)的表达式。】
江辰扫了一眼。
“函数方程题，经典题型。”
他几乎没思考，直接写：
“解：先求前几项。由f(1)=1，代入n=1得f(f(1))=f(1)+1，即f(1)=1+1=2，矛盾？因为f(1)=1，所以f(f(1))=f(1)=1，右边f(1)+1=2，1=2矛盾？”
江辰愣住了。
“题目出错了？”
他重新读题：“f:?→?是严格递增函数，满足f(1)=1且对任意正整数n，有f(f(n))=f(n)+n。”
代入n=1：f(f(1))=f(1)+1 → f(1)=1+1=2，但f(1)=1，矛盾。
“这……”
江辰皱眉。
三秒后，他明白了。
“哦，f(1)=1，但f(f(1))=f(1)吗？不，f(1)=1，所以f(f(1))=f(1)=1，右边应该是1+1=2，確实矛盾。”
“除非……题目中的?是正整数，但可能包含0？或者f(1)=1是初始条件，但函数方程对n≥2成立？”
他继续往下想。
“先假设题目没错，那么矛盾说明我的推理有问题。f(f(n))=f(n)+n，当n=1时，f(f(1))=f(1)+1=2，所以f(f(1))=2。”
“而f(1)=1，所以f(1)=1，那么f(f(1))=f(1)=1，但需要等於2，所以必须f(1)≠1？可题目明確说了f(1)=1。”
江辰感觉脑子有点乱。
“这题……有问题？”
他决定先跳过，看第四题。
【第四题（45分）】
【设p是奇素数，a?,a?,…,a_p是整数。证明：存在整数k（1≤k≤p）使得∑_{i=1}^p (a_{i+k} - a_i)2能被p2整除，这里下標模p理解（即a_{p+1}=a_1等）。】
江辰看完，眼睛一亮。
“数论组合题，有点意思。”
“∑(a_{i+k}-a_i)2 = ∑a_{i+k}2 - 2∑a_{i+k}a_i + ∑a_i2 = 2∑a_i2 - 2∑a_{i+k}a_i，因为∑a_{i+k}2=∑a_i2。”
“所以要证存在k使2∑a_i2 - 2∑a_{i+k}a_i ≡ 0 mod p2，即∑a_i2 ≡ ∑a_{i+k}a_i mod p2/2？不对，模p2。”
“即证存在k使∑a_{i+k}a_i ≡ ∑a_i2 mod p2。”
“记s_k = ∑a_i a_{i+k}，要证存在k使s_k ≡ s_0 mod p2，其中s_0=∑a_i2。”
“这等价於证存在k使s_k - s_0 ≡ 0 mod p2。”
“考虑所有k的s_k之和？或者用多项式方法……”
江辰脑子飞速转动。
十秒后，他有了思路。
“用傅立叶变换（离散傅立叶变换）。”
“设a(x)=∑a_i x^i（多项式），则s_k是a(x)a(x^{-1})中x^k项的係数？不对，循环卷积。”
“实际上，s_k = ∑a_i a_{i+k}是序列{a_i}的自相关函数。”
“要证存在k使s_k ≡ s_0 mod p2。如果所有s_k ≡ s_0 mod p2都不成立，那么所有s_k - s_0 ≡ 0 mod p2都不成立……”
“用反证法：假设对所有k都有s_k ? s_0 mod p2，则s_k - s_0 ≡ r_k mod p2，其中r_k是1到p2-1之间的数。”
“考虑∑_{k=1}^p (s_k - s_0) = ∑_k ∑_i a_i(a_{i+k}-a_i) = ……”
江辰在草稿纸上快速计算。
两分钟后，他找到了关键等式。
“有了！∑_{k=1}^p s_k = p∑a_i2，所以∑_{k=1}^p (s_k - s_0) = p∑a_i2 - p∑a_i2 = 0。”
“但如果每个s_k - s_0都不被p2整除，它们的和模p2不可能为0，矛盾。”
“所以存在k使p2整除s_k - s_0。”
“严谨化：设b_i = a_i mod p，考虑模p下的序列{b_i}，用类似论证可得存在k使∑b_i b_{i+k} ≡ ∑b_i2 mod p，然后提升到模p2……”
四分钟，第四题搞定。
江辰看了眼时间：9:50。
第四题做完，还剩第三题。
他回过头看第三题。
“函数方程f(f(n))=f(n)+n，f严格递增，f(1)=1。”
“代入n=1得f(1)=2，矛盾。所以要么题目错了，要么我的理解错了。”
江辰想了想，突然灵光一闪。
“等等，f是?→?，?通常指正整数，但有时也包含0。如果包含0，那么f(0)可能存在。”
“设f(0)=c，则f(f(0))=f(c)=f(0)+0=c，所以f(c)=c。”
“由f严格递增，f(0)=c，f(1)=1，如果c＜1，则f(0)＜f(1)，但0＜1，可以。c必须是整数，所以c=0。”
“那么f(0)=0，f(1)=1，代入n=1：f(f(1))=f(1)+1=2，所以f(1)=2？但f(1)=1，矛盾。”
“还是矛盾。”
江辰皱眉。
“除非……f(1)不是1？但题目明確说了f(1)=1。”
他决定换个思路。
“假设f(1)=1，那么f(f(1))=f(1)=1，但方程要求f(f(1))=f(1)+1=2，矛盾。”
“所以题目一定有印刷错误？或者?是自然数集包括0，且f(0)=1？”
“设f(0)=1，那么f(1)是多少？由严格递增，f(1)＞f(0)=1。”
“代入n=0：f(f(0))=f(1)=f(0)+0=1，所以f(1)=1，但f(1)＞1，矛盾。”
“也不行。”
江辰感觉这题像个死胡同。
他看了眼时间，9:52。
“算了，先按標准方法解，假设f(1)=1成立，忽略n=1的矛盾。”
“令g(n)=f(n)-n，则方程变为f(f(n))=f(n)+n → f(n+g(n))=n+g(n)+g(n)=n+2g(n)。”
“但f(n+g(n))又等於f(f(n))=f(n)+n=n+2g(n)，自洽。”
“由严格递增，g(n)非负且递增？不一定。”
“尝试求前几项：设f(1)=1，则f(f(1))=f(1)=1，但方程要求等於2，所以矛盾。跳过n=1。”
“从n=2开始：f(f(2))=f(2)+2，设f(2)=a，则f(a)=a+2。”
“由严格递增，f(1)=1＜f(2)=a，所以a≥2。”
“f(3)=b，则f(b)=b+3，且b＞a≥2。”
“继续推导……”
江辰在草稿纸上列出一串等式。
两分钟后，他猜出了答案。
“f(n) = φn + ψ，其中φ是黄金比例(1+√5)/2？不对，必须是整数函数。”
“实际上，经典解是f(n)=?φn?或类似形式，但需要验证。”
他快速验证了一下。
“设φ=(1+√5)/2≈1.618，则φ2=φ+1。”
“如果f(n)=?φn?，则f(f(n))=?φ?φn??≈φ2n=φn+n=f(n)+n，近似成立。”
“但严格成立需要数论性质，这是经典的beatty序列。”
江辰决定直接写答案：
“解：f(n)=?φn?，其中φ=(1+√5)/2，且n≥1时成立。验证：由beatty定理，?φ?φn??=?φ2n?=?(φ+1)n?=?φn+n?=?φn?+n=f(n)+n，当φn不是整数时成立，而φ是无理数，φn永不为整数，故等式成立。”
“但需要验证严格递增：显然。”
“f(1)=?φ?=1，满足。”
写完，江辰鬆了口气。
“这题真他妈绕。”
看了眼时间：9:55。
四道题，十五分钟搞定。
这时候交卷，会不会太早了些？
且阅卷老师看了，会不会不够惊艷？
不行，还得露一手。
江辰没有立马交卷，而是又將目光投向最后一道压轴题。
“这题，解法有很多，刚才只是用了最常见的一种！”
“还有第二种……”
“第三种……”
五分钟后。
10:00整。
他举手。
“老师，交卷。”
……
考场里一片寂静。
所有人抬起头，看著江辰，眼神复杂。
有惊讶，有疑惑，更多的是……不屑。
“又交卷？”
“二十分钟，他能做什么？”
“估计是一道都不会，乾脆放弃了。”
“浪费名额，真是……”
秦墨坐在第一排，抬头看了江辰一眼，眼神冷淡。
他刚刚做完第一题，正在做第二题。
二十分钟，江辰交卷？
除了放弃，他想不出別的可能。
“看来，之前高看他了。”
秦墨心里冷笑，“月考满分又怎样？竞赛是另一个世界。”
他低下头，继续做题。
……
刘月老师接过江辰的试卷，手都在抖。
她快速扫了一眼。
第一题，全对。
第二题，全对，解法比標准答案更优。
第三题，虽然一开始有疑惑，但最后给出了正確解。
第四题，全对，用了傅立叶变换和模运算，思路惊艷。
且还有第二种解法，第三种解法……
而且……四道题，二十分钟。
“同……同学，”刘月声音发颤，“你……你真的要交卷了？”
“嗯。”江辰点头，“可以走了吗？”
“可……可以。”
江辰转身离开。
刘月看著他的背影，又看了看试卷，感觉自己像是在做梦。
……
考场外。
周大鹏看到江辰出来，眼珠子都快瞪出来了。
“江辰？你……你怎么又出来了？”
“做完了。”江辰说。
“二十分钟？做完了？”周大鹏声音都变了，“江辰，这可是二试！四道大题，180分！”
“知道啊。”江辰一脸无辜，“题不难，就做快了点。”
周大鹏张了张嘴，半天没说出话。
旁边，江城一中的王老师和二中的李老师对视一眼，都笑了。
“周老师，你们这学生……挺有个性啊。”王老师阴阳怪气。
“二十分钟交卷，这速度……怕是连题目都没看完吧？”李老师也嘲讽。
周大鹏脸色难看，但没反驳。
他心里也在打鼓。
江辰……该不会真的没做完吧？
“江辰，”周大鹏把江辰拉到一边，压低声音，“你跟老师说实话，你真的做完了？还是……不会做，放弃了？”
“做完了。”江辰说，“周老师，您不信我？”
“不是不信……”周大鹏苦笑，“只是这速度……太夸张了。”
“放心，”江辰拍拍周大鹏的肩膀，“等成绩出来，您就知道了。”
说完，他转身回酒店了。
周大鹏站在原地，心情复杂。
他既希望江辰说的是真的，又觉得这太不可思议。
……
时间一分一秒过去。
考场里，考生们还在苦战。
秦墨做完第二题，看了眼时间：10:50。
已经过去70分钟了。
他擦了擦额头的汗。
这次二试的难度……远超他的预期。
尤其是第三题和第四题，他到现在还没思路。
“不管了，先保证前两题全对。”秦墨深吸一口气，开始检查。
而此刻，江辰已经在酒店房间里，悠閒地刷著手机。
系统提示音时不时响起。
【叮！收到惊艷值+20！】
【叮！收到惊艷值+30！】
光监考老师一人，就给他贡献了不少惊艷值。
“这才刚开始，”江辰嘴角上扬，“等成绩出来……那才叫炸场。”
……
第50章 二十分钟搞定二试，这速度实在太不可思议了啊！
【第三题（45分）】
【设f:?→?是严格递增函数，满足f(1)=1且对任意正整数n，有f(f(n))=f(n)+n。求f(n)的表达式。】
江辰扫了一眼。
“函数方程题，经典题型。”
他几乎没思考，直接写：
“解：先求前几项。由f(1)=1，代入n=1得f(f(1))=f(1)+1，即f(1)=1+1=2，矛盾？因为f(1)=1，所以f(f(1))=f(1)=1，右边f(1)+1=2，1=2矛盾？”
江辰愣住了。
“题目出错了？”
他重新读题：“f:?→?是严格递增函数，满足f(1)=1且对任意正整数n，有f(f(n))=f(n)+n。”
代入n=1：f(f(1))=f(1)+1 → f(1)=1+1=2，但f(1)=1，矛盾。
“这……”
江辰皱眉。
三秒后，他明白了。
“哦，f(1)=1，但f(f(1))=f(1)吗？不，f(1)=1，所以f(f(1))=f(1)=1，右边应该是1+1=2，確实矛盾。”
“除非……题目中的?是正整数，但可能包含0？或者f(1)=1是初始条件，但函数方程对n≥2成立？”
他继续往下想。
“先假设题目没错，那么矛盾说明我的推理有问题。f(f(n))=f(n)+n，当n=1时，f(f(1))=f(1)+1=2，所以f(f(1))=2。”
“而f(1)=1，所以f(1)=1，那么f(f(1))=f(1)=1，但需要等於2，所以必须f(1)≠1？可题目明確说了f(1)=1。”
江辰感觉脑子有点乱。
“这题……有问题？”
他决定先跳过，看第四题。
【第四题（45分）】
【设p是奇素数，a?,a?,…,a_p是整数。证明：存在整数k（1≤k≤p）使得∑_{i=1}^p (a_{i+k} - a_i)2能被p2整除，这里下標模p理解（即a_{p+1}=a_1等）。】
江辰看完，眼睛一亮。
“数论组合题，有点意思。”
“∑(a_{i+k}-a_i)2 = ∑a_{i+k}2 - 2∑a_{i+k}a_i + ∑a_i2 = 2∑a_i2 - 2∑a_{i+k}a_i，因为∑a_{i+k}2=∑a_i2。”
“所以要证存在k使2∑a_i2 - 2∑a_{i+k}a_i ≡ 0 mod p2，即∑a_i2 ≡ ∑a_{i+k}a_i mod p2/2？不对，模p2。”
“即证存在k使∑a_{i+k}a_i ≡ ∑a_i2 mod p2。”
“记s_k = ∑a_i a_{i+k}，要证存在k使s_k ≡ s_0 mod p2，其中s_0=∑a_i2。”
“这等价於证存在k使s_k - s_0 ≡ 0 mod p2。”
“考虑所有k的s_k之和？或者用多项式方法……”
江辰脑子飞速转动。
十秒后，他有了思路。
“用傅立叶变换（离散傅立叶变换）。”
“设a(x)=∑a_i x^i（多项式），则s_k是a(x)a(x^{-1})中x^k项的係数？不对，循环卷积。”
“实际上，s_k = ∑a_i a_{i+k}是序列{a_i}的自相关函数。”
“要证存在k使s_k ≡ s_0 mod p2。如果所有s_k ≡ s_0 mod p2都不成立，那么所有s_k - s_0 ≡ 0 mod p2都不成立……”
“用反证法：假设对所有k都有s_k ? s_0 mod p2，则s_k - s_0 ≡ r_k mod p2，其中r_k是1到p2-1之间的数。”
“考虑∑_{k=1}^p (s_k - s_0) = ∑_k ∑_i a_i(a_{i+k}-a_i) = ……”
江辰在草稿纸上快速计算。
两分钟后，他找到了关键等式。
“有了！∑_{k=1}^p s_k = p∑a_i2，所以∑_{k=1}^p (s_k - s_0) = p∑a_i2 - p∑a_i2 = 0。”
“但如果每个s_k - s_0都不被p2整除，它们的和模p2不可能为0，矛盾。”
“所以存在k使p2整除s_k - s_0。”
“严谨化：设b_i = a_i mod p，考虑模p下的序列{b_i}，用类似论证可得存在k使∑b_i b_{i+k} ≡ ∑b_i2 mod p，然后提升到模p2……”
四分钟，第四题搞定。
江辰看了眼时间：9:50。
第四题做完，还剩第三题。
他回过头看第三题。
“函数方程f(f(n))=f(n)+n，f严格递增，f(1)=1。”
“代入n=1得f(1)=2，矛盾。所以要么题目错了，要么我的理解错了。”
江辰想了想，突然灵光一闪。
“等等，f是?→?，?通常指正整数，但有时也包含0。如果包含0，那么f(0)可能存在。”
“设f(0)=c，则f(f(0))=f(c)=f(0)+0=c，所以f(c)=c。”
“由f严格递增，f(0)=c，f(1)=1，如果c＜1，则f(0)＜f(1)，但0＜1，可以。c必须是整数，所以c=0。”
“那么f(0)=0，f(1)=1，代入n=1：f(f(1))=f(1)+1=2，所以f(1)=2？但f(1)=1，矛盾。”
“还是矛盾。”
江辰皱眉。
“除非……f(1)不是1？但题目明確说了f(1)=1。”
他决定换个思路。
“假设f(1)=1，那么f(f(1))=f(1)=1，但方程要求f(f(1))=f(1)+1=2，矛盾。”
“所以题目一定有印刷错误？或者?是自然数集包括0，且f(0)=1？”
“设f(0)=1，那么f(1)是多少？由严格递增，f(1)＞f(0)=1。”
“代入n=0：f(f(0))=f(1)=f(0)+0=1，所以f(1)=1，但f(1)＞1，矛盾。”
“也不行。”
江辰感觉这题像个死胡同。
他看了眼时间，9:52。
“算了，先按標准方法解，假设f(1)=1成立，忽略n=1的矛盾。”
“令g(n)=f(n)-n，则方程变为f(f(n))=f(n)+n → f(n+g(n))=n+g(n)+g(n)=n+2g(n)。”
“但f(n+g(n))又等於f(f(n))=f(n)+n=n+2g(n)，自洽。”
“由严格递增，g(n)非负且递增？不一定。”
“尝试求前几项：设f(1)=1，则f(f(1))=f(1)=1，但方程要求等於2，所以矛盾。跳过n=1。”
“从n=2开始：f(f(2))=f(2)+2，设f(2)=a，则f(a)=a+2。”
“由严格递增，f(1)=1＜f(2)=a，所以a≥2。”
“f(3)=b，则f(b)=b+3，且b＞a≥2。”
“继续推导……”
江辰在草稿纸上列出一串等式。
两分钟后，他猜出了答案。
“f(n) = φn + ψ，其中φ是黄金比例(1+√5)/2？不对，必须是整数函数。”
“实际上，经典解是f(n)=?φn?或类似形式，但需要验证。”
他快速验证了一下。
“设φ=(1+√5)/2≈1.618，则φ2=φ+1。”
“如果f(n)=?φn?，则f(f(n))=?φ?φn??≈φ2n=φn+n=f(n)+n，近似成立。”
“但严格成立需要数论性质，这是经典的beatty序列。”
江辰决定直接写答案：
“解：f(n)=?φn?，其中φ=(1+√5)/2，且n≥1时成立。验证：由beatty定理，?φ?φn??=?φ2n?=?(φ+1)n?=?φn+n?=?φn?+n=f(n)+n，当φn不是整数时成立，而φ是无理数，φn永不为整数，故等式成立。”
“但需要验证严格递增：显然。”
“f(1)=?φ?=1，满足。”
写完，江辰鬆了口气。
“这题真他妈绕。”
看了眼时间：9:55。
四道题，十五分钟搞定。
这时候交卷，会不会太早了些？
且阅卷老师看了，会不会不够惊艷？
不行，还得露一手。
江辰没有立马交卷，而是又將目光投向最后一道压轴题。
“这题，解法有很多，刚才只是用了最常见的一种！”
“还有第二种……”
“第三种……”
五分钟后。
10:00整。
他举手。
“老师，交卷。”
……
考场里一片寂静。
所有人抬起头，看著江辰，眼神复杂。
有惊讶，有疑惑，更多的是……不屑。
“又交卷？”
“二十分钟，他能做什么？”
“估计是一道都不会，乾脆放弃了。”
“浪费名额，真是……”
秦墨坐在第一排，抬头看了江辰一眼，眼神冷淡。
他刚刚做完第一题，正在做第二题。
二十分钟，江辰交卷？
除了放弃，他想不出別的可能。
“看来，之前高看他了。”
秦墨心里冷笑，“月考满分又怎样？竞赛是另一个世界。”
他低下头，继续做题。
……
刘月老师接过江辰的试卷，手都在抖。
她快速扫了一眼。
第一题，全对。
第二题，全对，解法比標准答案更优。
第三题，虽然一开始有疑惑，但最后给出了正確解。
第四题，全对，用了傅立叶变换和模运算，思路惊艷。
且还有第二种解法，第三种解法……
而且……四道题，二十分钟。
“同……同学，”刘月声音发颤，“你……你真的要交卷了？”
“嗯。”江辰点头，“可以走了吗？”
“可……可以。”
江辰转身离开。
刘月看著他的背影，又看了看试卷，感觉自己像是在做梦。
……
考场外。
周大鹏看到江辰出来，眼珠子都快瞪出来了。
“江辰？你……你怎么又出来了？”
“做完了。”江辰说。
“二十分钟？做完了？”周大鹏声音都变了，“江辰，这可是二试！四道大题，180分！”
“知道啊。”江辰一脸无辜，“题不难，就做快了点。”
周大鹏张了张嘴，半天没说出话。
旁边，江城一中的王老师和二中的李老师对视一眼，都笑了。
“周老师，你们这学生……挺有个性啊。”王老师阴阳怪气。
“二十分钟交卷，这速度……怕是连题目都没看完吧？”李老师也嘲讽。
周大鹏脸色难看，但没反驳。
他心里也在打鼓。
江辰……该不会真的没做完吧？
“江辰，”周大鹏把江辰拉到一边，压低声音，“你跟老师说实话，你真的做完了？还是……不会做，放弃了？”
“做完了。”江辰说，“周老师，您不信我？”
“不是不信……”周大鹏苦笑，“只是这速度……太夸张了。”
“放心，”江辰拍拍周大鹏的肩膀，“等成绩出来，您就知道了。”
说完，他转身回酒店了。
周大鹏站在原地，心情复杂。
他既希望江辰说的是真的，又觉得这太不可思议。
……
时间一分一秒过去。
考场里，考生们还在苦战。
秦墨做完第二题，看了眼时间：10:50。
已经过去70分钟了。
他擦了擦额头的汗。
这次二试的难度……远超他的预期。
尤其是第三题和第四题，他到现在还没思路。
“不管了，先保证前两题全对。”秦墨深吸一口气，开始检查。
而此刻，江辰已经在酒店房间里，悠閒地刷著手机。
系统提示音时不时响起。
【叮！收到惊艷值+20！】
【叮！收到惊艷值+30！】
光监考老师一人，就给他贡献了不少惊艷值。
“这才刚开始，”江辰嘴角上扬，“等成绩出来……那才叫炸场。”
……